Программа курса

Классическая механика системы точек.
(обзор основных идей и методов)

  1. Обобщенные координаты и скорости. Принцип наименьшего действия. Функция Лагранжа. Уравнения Эйлера. Связи, условный экстремум. Преобразования симметрии. Первая теорема Нетер, законы сохранения и сохраняющиеся величины. Элементарные сведения из теории групп Ли: генераторы, коммутаторы, структурные константы, тождества Якоби, центральные заряды. Связные группы, группы Ли, абелевы группы. Представления групп.
  2. Группы Лоренца и Пуанкаре: генераторы и коммутационные соотношения. Операторы импульса, момента, буста. Отражения. Представления группы Лоренца; скаляры, векторы, тензоры. Спинорные представления.
  3. Гамильтонов подход. Фазовое пространство системы. Скобки Пуассона. Преобразование Лежандра, гамильтониан и уравнения Гамильтона. Физический смысл функции Гамильтона.

Динамика непрерывных систем.

  1. Переход от дискретной системы к непрерывной. Плотность лагранжиана, неоднозначность ее формы. Вариационная производная. Уравнения Эйлера для непрерывной системы. Плотность гамильтониана и гамильтониан. Уравнения Гамильтона для непрерывных систем. Гамильтониан как оператор развития во времени.
  2. Классификация полей по группе Лоренца: скалярное, векторное и тензорное поля. Спинорное поле и поле Дирака. Понятие свободного поля и его условность. "Лишние" компоненты, дополнительные условия (связи). Поля с самодействием. Взаимодействующие поля, внешние источники. Скалярный характер плотности лагранжиана как условие релятивистской инвариантности. Тензор энергии-импульса и тензор момента количества движения. Многокомпонентные поля, внутренние симметрии и сохраняющиеся токи.
  3. Матрицы Паули и их свойства: коммутаторы, антикоммутаторы, произведения, следы. Формулы полноты. Символ \varepsilon_{abc}. Билинейные комбинации и свертка по индексам. Векторное произведение и формулы векторного анализа.
  4. Абсолютно антисимметричный тензор \varepsilon_{\alpha\beta\nu\delta}; свертки по индексам. Запись определителя N-го ранга. Матрицы Дирака: определение, коммутаторы, антикоммутаторы, вычисление следов, разложение произведений. Операции с объектами типа \hat p \equiv p_\mu\gamma^\mu. Система базисных матриц и алгебра коммутаторов. Реализация генераторов группы Лоренца с помощью матриц Дирака.
  5. Свободное вещественное скалярное поле. Плотность лагранжиана, "кинетический" и "массовый" члены. Уравнения Эйлера, оператор Д'Аламбера. Фурье-представление решений, частотные компоненты. Тензор энергии-импульса, выражения для плотности энергии и гамильтониана. Вектор энергии-импульса. Тензор момента количества движения. Многокомпонентное (вещественное) скалярное поле с внутренней симметрией. Теорема Нетер и сохраняющийся ток. Заряды как генераторы группы внутренней симметрии.
  6. Свободное комплексное скалярное поле. Плотность лагранжиана, Запись в терминах вещественных компонент. Уравнения Эйлера. Фурье-представление решений, частотные компоненты. Тензор энергии-импульса, выражения для плотности энергии и гамильтониана. Вектор энергии-импульса. Тензор момента количества движения. Многокомпонентное комплексное скалярное поле с внутренней симметрией. Два типа сохраняющихся токов.
  7. Векторное поле (вещественное). Неоднозначность выбора формы лагранжиана "свободного" поля. Гамильтониан. Тензор момента и тензор спина."Лишние" компоненты. Дополнительные условия; их роль в выражении для плотности энергии. Форма лагранжиана, автоматически приводящая к устранению "лишних" компонент. Случай нулевой "массы": необходимость особого подхода. Фурье-представление и векторы поляризации ("волновые функции"). Проекторы на состояния со спинами 1 и 0. Инвариантность относительно калибровочных преобразований специального вида ("волновые" калибровки) и отделимость скалярной компоненты. Переход к уравнениям первого порядка (уравнения Даффина-Кеммера).
  8. Поле Дирака (постулативный подход). Уравнения первого порядка, инвариантные относительно преобразований группы Пуанкаре; матричная структура коэффициентов. Простейшая реализация: матрицы 4x4. Поля Майораны и Дирака. Поле Дирака как биспинор. Фурье-представление, частотные компоненты, коэффициентные функции. Лагранжев формализм, сопряженное поле как канонический импульс. Тензор энергии-импульса и тензор момента (спина). Неопределенность знака энергии. Калибровочная инвариантность 1-го рода и сохраняющийся вектор тока. Суммы по поляризациям как проекторы.
  9. Электромагнитное поле. Уравнения Максвелла для потенциалов; лагранжиан и калибровочная инвариантность 2-го рода. "Лишние" компоненты, условие Лоренца. Лагранжев формализм. Фурье-представление; поперечные, продольные и временные компоненты. Энергия и импульс; роль условия Лоренца.

 

Литература

  1. Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц. Теоретическая физика. Т. 2: Теория поля. М., 1967.
  2. Б.А.Дубровин, С.П.Новиков, А.Т.Фоменко. Современная геометрия. М., 1979.
  3. H.Georgi. Lie algebras in particle physics. Benjamin/Cummings. Reading, MA. 1982.
  4. R.Gilmore. Lie groups, Lie algebras, and some of their applications. Wiley, New York, 1974.
  5. Д.терХаар. Основы гамильтоновой механики. М., 1974.
  6. Г.Голдстейн. Классическая механика. М., 1975.
  7. Ю.В.Новожилов. Введение в теорию элементарных частиц. М., 1972.
  8. Ю.Б.Румер, А.И.Фет. Теория групп и квантованные поля. М., 1977.
  9. А.А.Богуш, Л.Г.Мороз. Введение в теорию классических полей. Минск, 1968.
  10. Н.Н.Боголюбов, Д.В.Ширков. Введение в теорию квантованных полей. М., 1984.
  11. Н.Н.Боголюбов, Д.В.Ширков. Квантовые поля. М., 1980.
  12. S.Weinberg. The quantum theory of fields. v. 1; Chapter 2. Cambridge University Press. Cambridge, MA, 1999.