Программа курса

  1. Касательное пространство к многообразию. Параллельный перенос, связность. Контурный интеграл.
  2. Метрика, связность, кручение. Связь между метрикой и связностью.
  3. Идея изометрического вложения риманова пространства в плоское пространство. Индуцированная метрика. Теорема Жане-Картана и другие теоремы о вложении.
  4. Репер теории вложения. Пересаживание векторов между римановым и объемлющим пространствами. Проекторы, их свойства.
  5. Ковариантное дифференцирование без явного использования связности. Индуцированная связность.
  6. Форма объема, ее свойства, условие интегрируемости Фробениуса.
  7. Вторая основная форма поверхности. Случай гиперповерхности.
  8. Выражение для тензора кривизны, тензоров Ричи и Эйнштейна в формализме вложения.
  9. Описание подмногообразий в формализме вложения. Связь между величинами, характеризующими многообразие и подмногообразие.
  10. Закон сложения вторых основных форм при описании подмногообразий. Вторая основная форма подмногообразия коразмерности один.
  11. Формула Гаусса. Формула Вейнгартена. Обобщенная формула Стокса.
  12. Уравнение Гаусса. Уравнение Кодацци.
  13. Формула, связывающая скалярные кривизны многообразия и его подмногообразия коразмерности один.
  14. Метод построения вложений римановых пространств, обладающих симметриями.
  15. Однопараметрическое семейство вложений для части сферы.
  16. Вложение закрытого мира Фридмана.
  17. Вложение открытого мира Фридмана.
  18. Вложение пространственно-плоского мира Фридмана.
  19. Свойства вложений решений Фридмана с материей типа лямбда-члена.
  20. Глобальное вложение для решения Шварцшильда, связь с координатами Крускала.
  21. Описание гравитации в форме теории вложения, уравнения Редже-Тейтельбойма, количество дифференцирований в них.
  22. "Лишние" решения формулировки гравитации Редже-Тейтельбойма.
  23. Канонический формализм для формулировки гравитации Редже-Тейтельбойма.

Литература

  1. Ш. Кобаяси, К. Номидзу. "Основы дифференциальной геометрии", в 2х томах. М.:Наука, 1981.
  2. Ч. Мизнер, К. Торн, Дж. Уиллер. "Гравитация", в 3х томах. М.:Мир, 1977.
  3. C. Fronsdal. Am. Journ. Math. 1921. V. 43. P. 130.
  4. T. Regge, C. Teitelboim. "General relativity a la string: a progress report", in Proceedings of the First Marcel Grossmann Meeting, Trieste, Italy, 1975. Ed. R. Ruffini, North Holland, Amsterdam, 1977. P. 77.
  5. С.А. Пастон. "Гравитация как теория вложения", LAMBERT Academic Publishing, 2012.