Квантовая гравитация и теория суперструн
(д.ф.-м.н., проф. В.А. Франке)
- Реперный формализм в классическом гравитационном поле.
Понятие о расслоенном пространстве.
Векторные расслоения.
Связность на векторном расслоении.
Касательные векторные расслоения и связность на таких расслоениях.
Пространства аффинной связности.
Расслоения с (псевдо)ортогональной структурной группой и римановы пространства.
Ковариантная производная от тензоров с координатными и реперными индексами.
Ковариантная производная от спинора.
Уравнение Дирака в римановом пространстве.
- Взаимодействующие скалярные, векторные и спинорные поля во внешнем гравитационном поле.
Тензор энергии-импульса таких полей.
Масштабная, конформная и вейлевская инвариантность.
- Канонический формализм для классического гравитационного поля в координатном представлении.
Формализм Арновита-Дезера-Мизнера (АДМ).
Алгебра связей.
Формализм Фаддеева-Попова.
- Канонический формализм для классического гравитационного поля в реперном представлении.
Понятие о теории гравитации в терминах петлевых переменных.
Аналогия с калибровочным полем.
Понятие о комплексном самодуальном формализме Аштекара.
- Квантование гравитационного поля в координатном представлении с помощью континуального интеграла.
Духи Фаддеева-Попова.
Обоснование формализма с помощью канонического квантования.
Трудность с замыканием алгебры связей.
Квантование методом Бекки-Руэ-Стора-Тютина (БРСТ).
- Диаграммный фейнмановский формализм для гравитационного поля в гармонических координатах.
Неперенормируемость квантовой теории гравитации.
- Классическая теория свободной бозонной релятивистской струны.
Причины, побудившие обратиться к теории струн.
Лагранжиан и уравнения движения свободной бозонной струны.
Фиксация внутренних координат и упрощение задачи.
Случаи открытой и замкнутой струн.
Классический канонический формализм.
Связи и симметрия Вирасоро.
- Квантование свободной бозонной струны в координатах светового фронта.
Явное решение связей.
Аномальное нарушение Лоренц-инвариантности.
Критическое число измерений пространства-времени (D=26).
Сохранение Лоренц-инвариантности только при этом числе измерений.
Построение спектра возбужденных состояний свободной бозонной струны.
Возбуждения, соответствующие квантам гравитационного поля и калибровочного векторного поля.
Трудности, обусловленные наличием тахиона.
- Континуальный интеграл для свободной бозонной струны в рамках формализма БРСТ.
Идея построения матрицы рассеяния в различных порядках теории возмущений по числу петель.
Представление о теории суперструны.
Фермионные степени свободы и суперсимметрия.
Исчезновение тахиона при критическом числе измерений D=10 с одновременным отсутствием аномалий.
Типы корректных моделей суперструн. (Материал этого раздела излагается без подробных доказательств.)
- Переход к моделям в четырехмерном пространстве-времени с помощью компактификации лишних измерений (общие представления).
- Обзор последних результатов, полученных в теории струн.
Гипотетическая M-теория, объединяющая все известные модели суперструн.
Теория мембран как поверхностей, на которых заканчиваются струны.
Четырехмерное пространство-время как поверхность в пространстве большего числа измерений (общие представления).
Литература
- Ш. Кобаяси, К. Номицзу. Основы дифференциальной геометрии, т. 1,2, М.: Наука,
1981.
- Б.А. Дубровин, С.П. Новиков, А.Т. Фоменко. Дифференциальная геометрия и
топология. М.: Наука, 1979.
- Ч. Мизнер, К. Торн, Дж. Уиллер. Гравитация, т. I-III. М.: Мир, 1977.
- И.А. Баталин, Е.С. Фрадкин, Операторное квантование и абелизация динамических
систем со связями первого рода. Труды ФИАН, т. 165, с. 31-64 (1986).
- Л.Д. Фаддеев, В.Н. Попов, Ковариантное квантование гравитационного
поля. УФН, т. 111, вып. 3, с. 427-450 (1973).
- Н.П. Коноплева, В.Н. Попов. Калибровочные поля. М: Эдиториал УРСС, 2000.
гл. IV.
- E.S. Fradkin, G.A. Vilkovisky. Unitarity of S-Matrix in Gravidynamics and
General Covariance in Quantum Domain. Lettere al Nuovo Cimento, v. 13, N 5,
p. 187-192 (1975).
- E. S. Fradkin, G. A. Vilkovisky. On the renormalization of Quantum Field
Theory in Curved Space-Time. Lettere al Nuovo Cimento, v. 19, N 2, p. 47-54
(1977).
- Т.Е. Фрадкина. Обобщенный канонический формализм и S-матрица теорий со связями
общего вида. Труды ФИАН, т. 167, стр. 180-213.
- R. Gambini, J. Pullin. Loops, Knots, Gauge Theory and Quantum Gravity. University
of Beijing, 1998.
- М. Грин, Дж. Шварц, Э. Виттен. Теория суперструн, т. 1,2. М: Мир, 1990.
- J. Polchinsky. String Theory, v. I, II. Cambridge, 1998.