Mетоды теории групп в квантовой теории поля

(д.ф.-м.н., проф. В.Д. Ляховский)

(9 семестр, 64 часа)

1. Представления группы Лоренца.
   1. Представления алгебр so(3,1) и sl(2,C)_R . Пунктирные и непунктирные спиноры. Спин-тензоры.
   2. Представления подалгебры вращений в sl(2,C)_R . Интегрируемые представления группы Лоренца.
2. Метод индуцированных представлений, представления группы Пуанкаре.
   1. Конструкция индуцированного представления. Критерий унитарности.
   2. Метод малой группы.
   3. Представления групп движения, построение представлений группы e(2).
   4. Индуцированные представления группы Пуанкаре. Классификация унитарных неприводимых представлений. Конструкция операторов представления.
   5. Представления группы Пуанкаре в спинорном базисе.
   6. Релятивистски инвариантные уравнения движения элементарных частиц.
3. Алгебраический анализ представлений групп.
   1. Максимальные торы в пространствах групп.
   2. Диаграмма и решетки. Экспоненциальное отображение единицы. Множество сингулярных точек. Центр группы как пересечение сингулярных множеств.
   3. Диаграмма группы. Центральная решетка. Единичная решетка. Фундаментальная решетка. Дискретные нормальные подгруппы универсальной накрывающей группы и решетки.
   4. Точные представления и представления локально изоморфных групп.
   5. Анализ представлений классических групп с помощью решеток.
4. Метод орбит в теории представлений и геометрическое квантование.
   1. Коприсоединенное представление и кокасательное расслоение.
   2. Инвариантные формы на кокасательном пространстве.
   3. Коприсоединенное представление общей линейной группы. Орбиты как классы подобных матриц.
   4. Формы на однородных пространствах и функции на группе со структурным условием.
   5. Невырожденные замкнутые инвариантные формы на орбитах.
   6. Симплектические многообразия и симплектические формы. Орбиты коприсоединенного представления как симплектические многообразия.
   7. Гамильтоновы и строго гамильтоновы поля. Канонические преобразования.
   8. Строго однородные симплектические многообразия.
   9. Классификация орбит и классификация представлений. Орбиты как фазовые пространства гамильтоновых систем.
   10. Построение унитарных представлений индуцированных с одномерных представлений подчиненных подгрупп.
   11. Геометрическое квантование гамильтоновых систем.

Литература

1. В. Д. Ляховский, А.А. Болохов, Группы симметрии и элементарные частицы, Изд. ЛГУ, 1983
2. А. А. Кириллов, Элементы теории представлений, "Наука", 1978
3. A. A. Kirillov, "Merits and Demerits of the Orbit Method", Bulletin of the American Mathematical Society, V 36, N 4, p.p. 433-488
4. М. Б. Менский, Метод индуцированных представлений, "Наука", 1976
5. О. Лоос, Симметрические пространства, "Наука", 1985
6. Теория алгебр Ли. Топология групп Ли, Семинар "Софус Ли", М., 1962
7. Дж. Адамс, Лекции по группам Ли, "Наука", 1979
8. А. Барут, Р. Рончка, Теория представлений и ее приложения, Т. I,II , М., 1980

Экзаменационные вопросы к курсу
"Mетоды теории групп в квантовой теории поля. 2011"

1. Алгебра Ли как структура, индуцированная на касательном пространстве к группе Ли ассоциативным умножением.
2. Простая алгебра Ли. Полупростая алгебра и ее идеалы.
3. Присоединенное представление.
4. Комплексификации и вещественные формы алгебр Ли.
5. Подалгебры Картана, их свойства.
6. Отражения. Корневые системы. Приведенные неприводимые корневые системы. Взаимное расположение двух корней. Базис системы корней.
7. Схемы Дынкина. Классификация приведенных неприводимых систем корней.
8. Классификация и каноническая реализация простых классических алгебр Ли.
9. Приводимые, вполне приводимые и неприводимые представления.
10. Представления полупростых алгебр Ли. Подалгебра вращений в . Графический метод редукции представлений на подалгебру.
11. Веса и старшие веса конечномерных представлений, их свойства.
12. Фундаментальные веса. Фундаментальные представления.
13. Правила кратностей весов неприводимых представлений sl(3,C).
14. Схемы Юнга. Произведения схем Юнга.
15. Конечномерные представления группы Лоренца.
16. Метод отрицательных схем Юнга.
17. Метод Гельфанда-Цейтлина для алгебр серий А и В.
18. Конечномерные представления алгебр so(3,1) и sl(2,C). Пунктирные и непунктирные спиноры. Спин-тензоры.
19. Метод индуцированных представлений. Основная конструкция.Унитарность
20. Метод малой группы. Орбиты представлений. Примеры неприводимых представлений группы движения Е(2)
21. Индуцированные представления группы Пуанкаре для m.
22. Уравнения Дирака.
23. Уравнения Прока.
24. Уравнения Рариты-Швингера.
25. Уравнение Вейля для нейтрино.
26. Бескоречные серии унитарных неприводимых представлений группы Лоренца.
27. Теорема Гельфанда-Яглома.
28. Уравнение Майорана для нейтрино.