Классическая теория поля
(к.ф.-м.н., доц. В.В. Верещагин)
Классическая механика системы точек.
(обзор основных идей и методов)
- Обобщенные координаты и скорости. Принцип наименьшего действия. Функция Лагранжа. Уравнения Эйлера. Связи, условный экстремум. Преобразования симметрии. Первая теорема Нетер, законы сохранения и сохраняющиеся величины. Элементарные сведения из теории групп Ли: генераторы, коммутаторы, структурные константы, тождества Якоби, центральные заряды. Связные группы, группы Ли, абелевы группы. Представления групп.
- Группы Лоренца и Пуанкаре: генераторы и коммутационные соотношения. Операторы импульса, момента, буста. Отражения. Представления группы Лоренца; скаляры, векторы, тензоры. Спинорные представления.
- Гамильтонов подход. Фазовое пространство системы. Скобки Пуассона. Преобразование Лежандра, гамильтониан и уравнения Гамильтона. Физический смысл функции Гамильтона.
Динамика непрерывных систем.
- Переход от дискретной системы к непрерывной. Плотность лагранжиана, неоднозначность ее формы. Вариационная производная. Уравнения Эйлера для непрерывной системы. Плотность гамильтониана и гамильтониан. Уравнения Гамильтона для непрерывных систем. Гамильтониан как оператор развития во времени.
- Классификация полей по группе Лоренца: скалярное, векторное и тензорное поля. Спинорное поле и поле Дирака. Понятие свободного поля и его условность. "Лишние" компоненты, дополнительные условия (связи). Поля с самодействием. Взаимодействующие поля, внешние источники. Скалярный характер плотности лагранжиана как условие релятивистской инвариантности. Тензор энергии-импульса и тензор момента количества движения. Многокомпонентные поля, внутренние симметрии и сохраняющиеся токи.
- Матрицы Паули и их свойства: коммутаторы, антикоммутаторы, произведения,
следы. Формулы полноты. Символ .
Билинейные комбинации и свертка по индексам. Векторное произведение и формулы
векторного анализа.
- Абсолютно антисимметричный тензор ;
свертки по индексам. Запись определителя N-го ранга. Матрицы Дирака:
определение, коммутаторы, антикоммутаторы, вычисление следов, разложение произведений.
Операции с объектами типа .
Система базисных матриц и алгебра коммутаторов. Реализация генераторов группы
Лоренца с помощью матриц Дирака.
- Свободное вещественное скалярное поле. Плотность лагранжиана, "кинетический" и "массовый" члены. Уравнения Эйлера, оператор Д'Аламбера. Фурье-представление решений, частотные компоненты. Тензор энергии-импульса, выражения для плотности энергии и гамильтониана. Вектор энергии-импульса. Тензор момента количества движения. Многокомпонентное (вещественное) скалярное поле с внутренней симметрией. Теорема Нетер и сохраняющийся ток. Заряды как генераторы группы внутренней симметрии.
- Свободное комплексное скалярное поле. Плотность лагранжиана, Запись в терминах вещественных компонент. Уравнения Эйлера. Фурье-представление решений, частотные компоненты. Тензор энергии-импульса, выражения для плотности энергии и гамильтониана. Вектор энергии-импульса. Тензор момента количества движения. Многокомпонентное комплексное скалярное поле с внутренней симметрией. Два типа сохраняющихся токов.
- Векторное поле (вещественное). Неоднозначность выбора формы лагранжиана "свободного" поля. Гамильтониан. Тензор момента и тензор спина."Лишние" компоненты. Дополнительные условия; их роль в выражении для плотности энергии. Форма лагранжиана, автоматически приводящая к устранению "лишних" компонент. Случай нулевой "массы": необходимость особого подхода. Фурье-представление и векторы поляризации ("волновые функции"). Проекторы на состояния со спинами 1 и 0. Инвариантность относительно калибровочных преобразований специального вида ("волновые" калибровки) и отделимость скалярной компоненты. Переход к уравнениям первого порядка (уравнения Даффина-Кеммера).
- Поле Дирака (постулативный подход). Уравнения первого порядка, инвариантные относительно преобразований группы Пуанкаре; матричная структура коэффициентов. Простейшая реализация: матрицы 4x4. Поля Майораны и Дирака. Поле Дирака как биспинор. Фурье-представление, частотные компоненты, коэффициентные функции. Лагранжев формализм, сопряженное поле как канонический импульс. Тензор энергии-импульса и тензор момента (спина). Неопределенность знака энергии. Калибровочная инвариантность 1-го рода и сохраняющийся вектор тока. Суммы по поляризациям как проекторы.
- Электромагнитное поле. Уравнения Максвелла для потенциалов; лагранжиан и калибровочная инвариантность 2-го рода. "Лишние" компоненты, условие Лоренца. Лагранжев формализм. Фурье-представление; поперечные, продольные и временные компоненты. Энергия и импульс; роль условия Лоренца.
Литература
- Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц. Теоретическая физика. Т. 2: Теория поля. М., 1967.
- Б.А.Дубровин, С.П.Новиков, А.Т.Фоменко. Современная геометрия. М., 1979.
- H.Georgi. Lie algebras in particle physics. Benjamin/Cummings. Reading,
MA. 1982.
- R.Gilmore. Lie groups, Lie algebras, and some of their applications. Wiley,
New York, 1974.
- Д.терХаар. Основы гамильтоновой механики. М., 1974.
- Г.Голдстейн. Классическая механика. М., 1975.
- Ю.В.Новожилов. Введение в теорию элементарных частиц. М., 1972.
- Ю.Б.Румер, А.И.Фет. Теория групп и квантованные поля. М., 1977.
- А.А.Богуш, Л.Г.Мороз. Введение в теорию классических полей. Минск, 1968.
- Н.Н.Боголюбов, Д.В.Ширков. Введение в теорию квантованных полей. М., 1984.
- Н.Н.Боголюбов, Д.В.Ширков. Квантовые поля. М., 1980.
- S.Weinberg. The quantum theory of fields. v. 1; Chapter 2. Cambridge University
Press. Cambridge, MA, 1999.